07 量子力学 O
1、 采用原子单位描述氢原子的性质，其中长度单位波尔半径a = h 2 / me2 =() A ,氢原子基
态电子能量为 E1 = () eV (取无穷远为势能零点)。
2、 质量为m 频率为 的一维谐振子的基态能量本征函数为（），其第n 个激发态的能量本征值 En = ( )。
3、 量子力学最基本的对易关系是坐标 x 动量 p 的对易关系（），这说明坐标和动量满足海森堡测不准关系（）。
4、 守恒定律与对称性紧密相关，体系的空间平移不变性导致（）守恒，空间旋转不变性导
致（）守恒，这些守恒的物理量一定与体系的哈密顿量对易。
5、 写出不考虑自旋情况下描述氢原子的波函数（），其中三个量子数的物理意义分别是：（）决定氢原子的能级，（）决定原子角动量的大小，（）决定角动量的方向。
6、 薛定谔绘景中波函数随时间变化，写出其动力学演化方程（）。面海森堡绘景中（）随时间变化，写出其动力学演化方程（）。
二、判断对错题（正确 T,错误 F） 1、 两个自旋 1/2 的粒子总自旋可以为 1/2。
2、 自旋轨道耦合对哈密顿量的修正部分与轨道角动量对易。
3、 若 A 与 B 为反厄米算符，则[A,B]厄米算符。
4、 系统具有旋转不变性，则其能量本征态也是角动量算符平方的本征态。
5、 角动量算符的 z 方向分量 Lˆ 与(Lˆ2 + Lˆ2 )对易。
6、 波函数的导数仍然是一个波函数。
7、 反常塞曼效应的原因是自旋轨道耦合。
8、 一维谐振子和无限深方势阱中能级都是等距分布的。
9、 Born 近似较适用于高能粒子散射，而分波法较适用于低能粒子散射。
10、 可观测的动力学变量在量子力学中用幺正算符表示。
三、磁场中电子自旋：一个自旋 1/2 的粒子处于常磁场中，其哈密顿算符为
H = –mr × B = –m sr × B ,
1) 证明系统的能量本征值与磁场矢量 B = B(sinq cosj, sinq sinj, cosq )的方向(q ,j )无关。2) 求出系统的两个旋量本征态。3) 若系统处于对应正本征值的本征态上，求算符s y 的期待值。 四、角动量的矩阵表示：
在(Lˆ2 , Lˆ ) 的共同表象中，以 l, m
为基矢， l = 3 / 2 的子空间是四维的。
1） 求 Lˆ2
Lˆz ， Lˆx ， Lˆy 在此四维空间中的矩阵表示
2） 用矩阵方法求出与 Lˆy 的最大本征值相应的本征态，并说明其矩阵元的物理意义五、定态微扰论：设系统的哈密顿算符为
其中l 《hw ，将非线性力的势能部分lx 4 作为微扰，试用微扰论求准确到二级的基态能级
近似值。【提示：
六、两电子波函数：
2mw考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分） 必须是反对称的。1）
假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符为：Sv = sr+ sr 。
求： S 2 和S 的本征值
1） 假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数， S 2 和S 的本征值
2） 假设两电子系统哈密顿量为： H = Js1 × s2 ，分别针对 1，2 两种情形，求系统的能量。七、一维问题：考虑质量为m 的粒子在半壁无限高势阱中的运动
1） 求其中可能存在束缚态的个数0, x > a）
在最高能量的束缚态发现粒子在阱外（ x > a ）的几率是多少
（提示：方程- cot z =的解分别为 2.7859，5.52145，7.95732）
